Logika jest trudna i pełna paradoksów.

Logika jest łatwa – bo to tylko uogólniony opis poprawnego rozumowania, znany każdemu myślącemu człowiekowi.

Które z powyższych zdań jest prawdziwe?

Logika nauczana w szkołach średnich jest łatwa (w zasadzie całość tej wiedzy można zmieścić na jednej niezbyt pojemnej stronie¹). Logika rozwijana na uniwersytetach jest trudna (czasem nawet można użyć określenia „hermetyczna”).

Ponieważ logika to także narzędzie odkrywania prawdy – występowania tych dwóch skrajności nie można lekceważyć. Powszechne nauczanie logiki (może nawet należałoby rozpocząć je wcześniej niż w liceum) jest procesem uświadamiania i poznawania niezawodnych reguł rozumowania. Jaki zaś jest / powinien być cel logiki uniwersyteckiej (poza umysłową rozrywką ludzi, którzy najwyraźniej mają bardzo dużo czasu)? Spór o to wybuchł na początku XX wieku, gdy proces oczyszczania logiki z wszelkich związków ze zmysłowym poznaniem sprawiał, że przestawała ona być intuicyjnie zrozumiała. Jednym z wielkich krytyków takiego kierunku rozwoju był francuski matematyk, filozof i logik Henri_Poincare. Uważał on, że fundamentalne zasady winne być zgodne z intuicją („zdrową psychologią”). W jednym z komentarzy pisał²: „Russell odpowie mi bez wątpienia, że chodzi nie o psychologię, ale logikę i teorię poznania, na co musiałbym replikować, że nie istnieje żadna logika i teoria poznania niezależne od psychologii. To wyznanie wiary zakończyłoby jednak prawdopodobnie dyskusję, ponieważ ujawnia ona nieprzezwyciężalne różnice poglądów”.

Czy jednak pragmatyzm charakterystyczny dla XXI wieku nie pozwala na zupełnie nowe podejście do tego sporu?

Naukowcy i inżynierowie opisują rzeczywistość, używając algebry oraz klasycznej logiki, nie przejmują się sporami filozoficznymi. Dlaczego? Bo w praktyce nie istnieją dwa główne źródła tych sporów:

1. Użycie nieskończoności. Już starożytni dostrzegli, że nieskończoność prowadzi do paradoksów (Achilles, który nigdy nie dogoni żółwia³). Nie wzbudzało to kontrowersji, póki nieskończoność używano do określenia granic (dla każdej liczby można podać liczbę od niej większą). Ale od czasów Cantora nieskończoność zagościła w matematyce jako pełnoprawny przedmiot badań - liczby kardynalne. To przeciw temu oponował Poincare.

2. Problem poznania zmysłowego: czy pojęcia którymi operujemy pochodzą z doświadczenia, czy też dane zmysłowe są porządkowane przez platonowskie idee? W praktyce jesteśmy platonikami w tym sensie, że teoria poprzedza praktykę. Na etapie tworzenia teorii operujemy pojęciami abstrakcyjnymi. Teorię konfrontujemy z praktyką poprzez doświadczenia (weryfikacja) lub dzieła inżynierskie (wykorzystanie).

Bardziej złożone konstrukcje matematyczne potrzebne są wówczas, gdy chcemy opisać złożoną rzeczywistość, a nie wtedy, gdy chcemy tworzyć skomplikowane sposoby zapisu i argumentowania. Takie pragmatyczne podejście jest szczególnie widoczne w informatyce. W komputerach nie ma bowiem nieskończoności, a problem poznania zmysłowego został zmarginalizowany do cyfrowych interfejsów (wejścia i wyjścia).

Dwa etapy cyfryzacji

Na czym polega proces cyfryzacji? Można w nim wyróżnić dwa etapy:

1. Zapisywanie danych w postaci cyfrowej.

2. Przetwarzanie cyfrowych danych do postaci możliwej do wykorzystania w programach komputerowych.

Różnicę między efektami tych dwóch etapów przetwarzania dobrze widać w popularnym serwisie Google Maps. Wykorzystuje on zdjęcia satelitarne (pierwszy etap obróbki), które możemy odczytać przez internet. Na te zdjęcia są nakładane współrzędne geograficzne i sieć dróg (drugi etap). Dzięki temu możemy wykorzystać Google Maps w nawigacji samochodowej. Ta nawigacja nie działa na terenie posesji, bo dane o ukształtowaniu terenu posesji nie zostały wystarczająco przetworzone (można je tylko odczytać i obejrzeć).

W uproszczeniu można zapisać schemat cyfrowego przetwarzania informacji następująco:

[świat] <=> [pamięć informacji] <=> [procesor+pamięć sterowania]

Fizycznie pamięć informacji to najczęściej dyski komputera (serwera), a pamięć sterowania odpowiada pamięci podręcznej (RAM).

Możemy powiedzieć, że zawartość pamięci informacji jest przetwarzana w sposób bierny. Nie wpływa wprost na działanie systemu to, czy ktoś wpisał do pamięci wierszyk, czy matematyczną regułę. Jeśli w tej pamięci znajdzie się jakiś program, to aby zaczął sterować komputerem, musi zostać odpowiednio przetworzony i zasilić pamięć sterowania.

Wbrew pozorom jesteśmy dopiero u początków ekspansji informatyki, gdyż zdecydowana większość danych w pamięciach komputerów przeszła jedynie pierwszy etap cyfryzacji. To bardzo ważne, gdyż przejście do drugiego etapu wiąże się z koniecznością „oczyszczenia danych”.

Aby wyjaśnić ten proces oczyszczania, można porównać komputer do umysłu inżyniera. Na co dzień ludzie swobodnie rozmawiają ze sobą, nie przejmując się szczególnie ścisłością swych wypowiedzi. Kiedy jednak inżynier coś projektuje – musi zadbać o precyzję. Komputery przetwarzają mnóstwo informacji – bez ich analizowania. Jeśli jednak ta informacja ma sterować działaniem komputera, musi być ścisła i spójna (nie przeczyć wcześniej użytym regułom). Czyli takie oczyszczanie polega na przetworzenie danych w reguły dające pewne (w sensie: zdeterminowane) wyniki.

Zarówno inżynier jak i komputer posługują się logiką i matematyką. Dzieła tysięcy lat pracy matematyków zostają w ten sposób zmaterializowane.

Czy jednak przynajmniej cała współczesna logika oraz elementarna matematyka zostanie w pełni przełożona na zasady cyfrowego świata?

Nie. W tej „szarej strefie” pozostaje matematyk posługujący się pojęciem nieskończoności tak jak liczbami oraz logik, który próbuje budować tezy dotyczące realnego świata, a nie tylko badać sensowność i prawdziwość wypowiedzi.

Czy w związku z tym należy uznać, że jakaś istotna część fundamentalnej wiedzy nie podlega cyfryzacji w opisanym sensie? A może ten niedostępny komputerom świat nie zawiera niczego ciekawego? Może niepotrzebnie rezygnujemy z zimnej precyzji maszyn i otwieramy pole dla bezproduktywnych sporów?

To pytanie sprowadza się chyba do tego, jakie narzędzia są nam niezbędne do opisywania i przetwarzania informacji o świecie. Czy proces oczyszczania danych nie prowadzi do utraty zdolności do wyrażenia pełnej prawdy o naszej rzeczywistości?

Prawda

Dla informatyka prawda ma znaczenie wyłącznie w odniesieniu do zdań wyrażonych w jakimś języku. Dla filozofów zdanie wyrażające pewien sąd jest prawdziwe, gdy opisuje prawdziwy stan rzeczy. Formalizacja tej definicji prowadzi do tezy⁴:

"p" jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p.

Cudzysłów oznacza cytowanie (treść zdania). Czyli na przykład: zdanie „Fiat to marka samochodu” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy Fiat to marka samochodu. Zdanie „Fiat to marka samochodu” należy do języka przedmiotowego (języka pewnej teorii), a powyższe zdanie dotyczące jego prawdziwości to zdanie metajęzyka (czyli języka w którym opisujemy język przedmiotowy). Metajęzyk jest bogatszy od języka przedmiotowego, który jest w nim zawarty. Posługując się pojęciami języka i metajęzyka możemy analizować prawdziwość zdań, nie przejmując się zupełnie ich związkami z rzeczywistością. W ten sposób tezy rozwijane przez Alfreda Tarskiego okazują się mieć fundamentalne znaczenie dla informatyki.

Logika modalna

Prawdziwość zdań opisujących rzeczywistość (także tą wirtualną) zależy nie tylko od ich struktury (jak w klasycznym rachunku zdań) ale także od ich znaczenia – czyli semantyki. Co zatem opisują zdania teorii? Rzeczywistość? Niekoniecznie – bo przecież często dopiero doświadczenie ma nas upewnić, że teoria naprawdę opisuje naszą rzeczywistość. W przypadku wykreowanej przez informatykę rzeczywistości wirtualnej to zupełnie bez znaczenia⁵.

Zamiast więc o rzeczywistości możemy mówić o „światach możliwych”⁶ - czyli o tym jak powinien wyglądać świat, aby rozważany zbiór zdań miał sens (wszystkie zdania miały określone znaczenie).

Pojęcie światów możliwych (pod nazwą „światy równoległe”) zagościło w popularnej literaturze i filmach. W jednym świecie bohater jest kaleką, a w innym sportowcem. W teorii pojęcie światów możliwych ułatwia definicję konieczności i możliwości:

• sądy konieczne są prawdziwe we wszystkich możliwych światach;

• sądy możliwe są prawdziwe w jakimkolwiek świecie;

Można też zdefiniować sądy niemożliwe, czyli nieprawdziwe w każdym ze światów.

Rozszerzając logikę logikę klasyczną o operatory konieczności (oznaczenie: L lub kwadrat) i możliwości (oznaczenie: M lub rąb) otrzymujemy logiki modalne7.

Operatory mogą być definiowane wzajemnie (więc wystarczy tylko jeden z nich wprowadzić do logiki):

• M(p) = ~L(~p) – jeśli coś jest możliwe, to zaprzeczenie nie może być konieczne

• L(p) = ~M(~p) – jeśli coś jest konieczne, to zaprzeczenie nie może być możliwe

Operator konieczności wymyślił C.I. Lewis, chcąc w ten sposób uściślić pojęcie implikacji. Znana ze szkolnej logiki implikacja jest prawdziwa jeśli poprzednik implikacji jest fałszywy lub następnik prawdziwy. Rodzi to wiele wątpliwości. Oto przykład poprawnego (choć nieco absurdalnego) zdania podany przez logika i filozofa Dunsa Szkota:

Sokrates jest i Sokrates nie jest, a więc kij stoi w kącie.

Wśród praw logiki klasycznej jest kilka sprzecznych z naszą intuicją. I wszystkie dotyczą implikacji:

(p ∧ ~p) → q

p → (q → p)

(p → q) ∨ (q → p)

q → (p ∨ ~p)

Dlatego Lewis zaproponował implikację ścisłą:

(p => q) =df L(p → q)

czyli:

(p => q) =df ~M(p ^ ~q)

Implikacja ścisła się nie przyjęła (w podręcznikach matematyki próżno szukać twierdzeń dowodzonych w taki sposób), ale logika modalna została.

Dowodzenie twierdzeń w logice modalnej

Dla logiki modalnej zaproponowano kilka różnych zbiorów aksjomatów i reguł dowodzenia⁸. W oparciu o nie można oczywiście dowodzić mniej lub bardziej intuicyjnie zrozumiałe twierdzenia. Rozważmy jedno z nich:

Tw1: 

M(L(p)) → p : czyli co może być konieczne, rzeczywiście zachodzi

Dowód:

1. p → L(M(p))   : aksjomat Brouwera⁹ (B) – jeśli p, to konieczne jest aby p było możliwe

2. ~p→L(M(~p))   : proste podstawienie zaprzeczenia do (B)

3. ~L(M(~p)) → p   : odwrócenie implikacji (p → q => ~q → ~p )

4. M(~M(~p)) →p   : M(p) to zgodnie z definicją ~L(~p)) – jeśli coś jest możliwe, to zaprzeczenie nie może być konieczne

5. M(L(p)) →p   : L(p) to zgodnie z definicją ~M(~p) – jeśli coś jest konieczne, to zaprzeczenie nie może być możliwe

Czy to jest bardziej intuicyjne, niż implikacja materialna (z klasycznego rachunku zdań)? W przypadku implikacji mieliśmy przynajmniej proste rachunki…..

Tu mamy nie budzący kontrowersji aksjomat B (jeśli p, to konieczne jest aby p było możliwe), który prowadzi do wielce kontrowersyjnej tezy Tw1 (co może być konieczne, rzeczywiście zachodzi).

Na dodatek logik modalnych jest wiele i różna jest ich moc. Brak jest przy tym jasnego kryterium – dlaczego taka a nie inna miałaby być dobra. To oczywiście niczego nie przesądza – o ile znajdzie się dla nich praktyczne zastosowanie. Na razie jednak to tylko umysłowa rozrywka.

Wobec zagadki nieskończoności

Jeśli naszym celem ma być orzekanie absolutnie pewnej wiedzy o świecie (realnym lub wirtualnym), musimy się pogodzić z tym, że zawsze będzie to wiedza niepełna. Operując zbiorami o skończonej liczności, nasze tezy egzystencjalne ograniczają się do stwierdzenia i zawartości tych zbiorów. Kwantyfikator egzystencjalny odnosi się wyłącznie do rozpatrywanego zbioru. Mówimy zatem, że coś istnieje w tym sensie, że jest elementem zbioru. Jeśli wykreujemy zbiór światów możliwych, to możemy orzec, że coś istnieje w jednym z tych światów. Nic więcej. Pozbycie się nieskończoności ze sfery logicznej analizy ujawnia równocześnie bezsens niektórych odwiecznych sporów (vide paradoks kamienia).

Przypisy